Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратного неравенства

1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.

2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

3. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки - черные. Если строгое - белые.

4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ

 

Пример.

1. Решить неравенство:

x2≤ 4

Готовим неравенство к решению. Переносим 4 влево, получаем:

x2- 4≤ 0

 

2. x2- 4 = 0

х1= -2

х2= +2

 

3.

4.

5.

Ответ:

х ∈ [-2; 2]

 

Решить неравенство:

 

На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положителен, ищем корни:

Таким образом, парабола  пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).

Поскольку коэффициент, то ветви параболы смотрят вверх. Из выше сказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству:

Ответ: